Что такое вэйвлет (и с чем его едят) ?

Вэйвлеты (wavelet) и вэйвлет-преобразование - это новый способ обработки и исследования сигналов, теория которого разработана совсем недавно, с появлением быстродействующих компьютеров, так как требует большого объема вычислений. Вэйвлет можно считать трехмерным спектром, где по оси X - время, по оси Y - частота, а по оси Z - амплитуда гармоники с данной частотой в данный момент времени. Обычно на двухмерной плоскости (на экране, на бумаге) ось Z отображают в виде градаций черного цвета. При этом черный цвет - максимальная амплитуда, а белый - минимальная. Тогда самые интересные места сразу видно по черным пятнам.

Математика

Вэйвлет - это в дословном переводе "маленькая волна". За основу, обычно, берется один из простейших графиков. Видно, что график быстро затухает по краям.

Далее этот вэйвлет прикладывается к сигналу (делается свертка) при этом его можно растягивать (то есть менять частоту) и передвигать по временной оси (то есть менять время). Мы получаем двухмерный массив амплитуд в зависимости от частоты и времени.

Реально мы получаем комплексный массив (как и в спектре), но на рисунках изображены только амплитуды. Фазовая картинка выглядит очень красиво, но малопонятно. При вычислении "в лоб" мы получаем огромный объем вычислений, недоступный даже современным персональным компьютерам. Существует алгоритм быстрого вэйвлет-преобразования, подобно Быстрому Преобразованию Фурье (БПФ) для спектров, время вычисления для которого значительно меньше. Также есть обратное вэйвлет-преобразование для восстановления формы сигнала.

Применение

Для подготовки примеров использовалась программа "Атлант" [Вибро-Центр], которую можно скачать с сайта фирмы.

1. Сигнал состоит из двух синусоид разной частоты - на вэйвлете мы видим два ярко выраженных хребта на частотах 0.10 и 0.14. Но такой же результат дает и спектр, так что этот пример интересен только для показа связи вэйвлета со спектром.

Если взять сечение по времени в момент времени 11, то увидим спектр сигнала в данный момент времени, где ярко выраженны частоты 0.10 и 0.15:

В момент времени 24, частоты несколько сместились - 0.15 и 0.13:

Сечение по частоте 0.09 показывает, что она почти не изменялась:

А частота 0.14 со временем изменялась значительно:

2. Самое интересное применение вэйвлетов - для исследования сигналов, которые затухают во времени или (и) меняют свою частоту, то есть ударных сигналов. На обычном спектре мы сможем максимум выделить доминирующую частоту такого сигнала, что даст нам очень мало информации, поэтому, например, для диагностики подшипников качения применяют специальные спектры огибающей. На вэйвлете можно увидеть спектр удара в развитии:

Виден удар и его затухание с частотой примерно 5800 в моменты времени 1100, 2500 и 3900.

3. Виден удар и его затухание с медленно меняющейся частотой примерно 2200.

Заключение

Пока использование вэйвлетов в обработке вибрационных сигналов мало распространено из-за новизны теории, отсутствия понятной литературы и большого объема вычислений, хотя в других областях (сжатие изображений и их обработка) они уже широко используются. Может быть ситуация изменится...

2000 г.